[Algorithm] 다익스트라 최단 경로 알고리즘

최단 경로(Shortest Path) 알고리즘

: 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘. '길 찾기' 문제 라고도 불림.

- 보통 그래프를 이용해 표현함.

- 각 지점은 그래프에서 '노드'로 표현되고, 지점 간 연결된 도로는 그래프에서 '간선'으로 표현됨.

 

다익스트라 최단 경로 알고리즘

: 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘

- 음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작함.

- 그리디 알고리즘

 

1. 출발 노드를 설정한다. 2. 최단 거리 테이블을 초기화한다. 3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다. 4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다. 5. 위 과정에서 3과 4번을 반복한다.

- 간단한 다익스트라 알고리즘

# 간단한 다익스트라 알고리즘(느림, O(V^2)(V = 노드의 개수))
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n+1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b,c))

# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n+1):
    	if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
	# 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
    	distance[j[0]] = j[1]
    
    # 시작 노드를 제외한 전체 n-1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n-1):
    	# 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
            	distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
	# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
    	print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
    	print(distance[i])

'''
입력 예시
6 11
1
1 2 2
1 3 5
1 4 1
2 3 3
2 4 2
3 2 3
3 6 5
4 3 3
4 5 1
5 3 1
5 6 2

출력 에시
0
2
3
1
2
4
'''

 

- 개선된 다익스트라 알고리즘

: 힙 자료구조 사용

 

힙 자료구조란?

- 우선순위가 가장 높은 데이터를 먼저 삭제하는 '우선순위 큐'를 구현하기 위하여 사용하는 자료구조 중 하나

- PriorityQueue, heapq 라이브러리를 사용할 수 있는데 heapq 라이브러리가 더 빠르게 동작함

# 개선된 다익스트라 알고리즘(빠름, O(ElogV)(V = 노드의 개수, E = 간선의 개수))
import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b,c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
	# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
    	print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
    	print(distance[i])


'''
입력 예시
6 11
1
1 2 2
1 3 5
1 4 1
2 3 3
2 4 2
3 2 3
3 6 5
4 3 3
4 5 1
5 3 1
5 6 2

출력 에시
0
2
3
1
2
4
'''